鲸鱼的树洞

初等积分法求解常微分方程

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由于方程比较多,在这里简单的列一个表格以供速查。点击表格左侧的名称即可跳转到对应部分。

名称形式
恰当方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,My=NxM(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0,\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
变量分离方程dydx=h(x)g(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=h(x)g(y)
齐次方程dydx=f(xy)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\frac{x}{y})
一阶齐次线性方程dydx+p(x)y=0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=0
一阶非齐次线性方程dydx+p(x)y=q(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y = q(x)
Bernoulli 方程dydx+p(x)y=q(x)yn\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)y^n
Riccati 方程dydx=p(x)y2+q(x)y+r(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p(x)y^2+q(x)y+r(x)
一阶隐式方程F(x,y,y)=0F(x,y,y')=0
高阶方程F(x,y,y,y)=0F(x,y,y',y'')=0

恰当方程

定义:恰当方程

如果存在一个连续可微的方程 U(x,y)U(x, y),使得

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy\mathrm{d}U(x, y) = M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y

则称 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0恰当方程,也可记作 dydx=M(x,y)N(x,y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)}

定理:恰当方程的一些性质

M(x,y)M(x, y)N(x,y)N(x,y) 是定义在区域 GG 上的连续可微函数,且具有连续的一阶偏导数 My\dfrac{\partial M}{\partial y}Nx\dfrac{\partial N}{\partial x},那么

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是恰当的My=NxM(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0 \text{是恰当的} \Leftrightarrow \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}

且此时可以取

U(x,y)=y0yN(x0,t)dt+x0xM(s,y)dsU(x, y) = \int_{y_{0}}^{y} N(x_{0}, t)\mathrm{d}t + \int_{x_{0}}^{x} M(s, y)\mathrm{d}s

U(x,y)=x0xM(s,y0)dt+y0yM(x,t)dsU(x, y) = \int_{x_{0}}^{x} M(s, y_{0})\mathrm{d}t + \int_{y_{0}}^{y} M(x, t)\mathrm{d}s

My=Nx\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} 判断方程是否是恰当方程

求解:恰当方程

由定义,当 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0 是恰当方程时,有

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0dU(x, y) = M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0

U(x,y)=cU(x,y) = c 就是是原方程的隐式通解。其中 cc 为任意常数。

因此要求解恰当方程,只要找到 U(x,y)U(x, y) 即可。

👆 上方的定理中已经给出了通用的 U(x,y)U(x, y) 的计算结果,不过这个结果不用记,一般不用。具体的求解步骤看 👇 下方的例题即可,就不再细写了。

例题:恰当方程

解方程:xydx+(x22+1y)dy=0xy \mathrm{d}x + (\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{1}{y}) \mathrm{d}y = 0


解:M(x,y)=xy,N(x,y)=x22+1yM(x,y) = xy, \quad N(x,y) = \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{1}{y}

My=Nx=x\dfrac{ \partial M }{ \partial y } = \dfrac{ \partial N }{ \partial x } = x,因此原方程是恰当方程

只要找 U(x,y)U(x,y) 使得 Ux=M,Uy=N\dfrac{ \partial U }{ \partial x } = M, \dfrac{ \partial U }{ \partial y } = N 即可

{Ux=xy(1)Uy=x22+1y(2)\begin{cases} \dfrac{ \partial U }{ \partial x } = xy & (1) \\ \dfrac{ \partial U }{ \partial y } = \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{1}{y} & (2) \end{cases}

(1)(1) 式两边关于 xx 积分:

U=x22y+cU = \dfrac{x^{2}}{2} y + c,由于常数有可能与 yy 有关,故写作:

U=x22y+c(y)(3)U = \dfrac{x^{2}}{2} y + c(y) \quad (3)

代入 (2)(2) 式:

Uy=x22+c(y)=x22+1y\dfrac{ \partial U }{ \partial y } = \dfrac{x^{2}}{2} + c'(y) = \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{1}{y}

    c(y)=1y\implies c'(y) = \dfrac{1}{y}

    c(y)=lny+c\implies c(y) = \ln\mid y\mid + c,代回 (3)(3)

    U=x22y+lny+c\implies U = \dfrac{x^{2}}{2} y + \ln \mid y \mid + c

故原方程解为 x22y+lny+c\dfrac{x^{2}}{2} y + \ln \mid y \mid + c


严格来说解为:

{x22y+lny=c上半平面x22y+ln(y)=c下半平面\begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2} y + \ln y = c & \Rightarrow \text{上半平面} \\ \dfrac{x^{2}}{2} y + \ln (-y) = c & \Rightarrow \text{下半平面} \end{cases}

但是这个不是很重要,一般写简单的形式即可。

变量分离方程

定义:变量分离方程

dydx=h(x)g(y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = h(x) g(y)

其中 h(x)h(x) g(y)g(y) 在某区间 II 上连续。

求解:变量分离方程

第一步:

若存在 y0y_{0} 使得 g(y0)=0g(y_{0}) = 0,则 y(x)=y0y(x) = y_{0} 是一个解

第二步:

g(y)0g(y) \neq 0,则将方程转化为以下形式:

1g(y)dy=h(x)dx\dfrac{1}{g(y)} \mathrm{d}y = h(x) \mathrm{d}x

然后两边求积分即可。

例题一:变量分离方程

解方程:dydx=2x(1y2)12\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x (1 - y^{2})^{\frac{1}{2}}


解:第一步: y=±1y = \pm 1 时,(1y2)12=0(1 - y^{2})^{\frac{1}{2}} = 0 ,因此 y=±1y = \pm 1 是原方程的两个解

第二步: y±1y \neq \pm 1 时,分离变量

1(1y2)12dy=2xdx\dfrac{1}{(1 - y^{2})^{ \frac{1}{2} }} \mathrm{d}y = 2x\mathrm{d}x,两边积分

    arcsiny=x2+c\implies \arcsin y = x^{2} + c

整理得 y=sin(x2+c)y = \sin(x^{2} + c)

最后,由于 y=±1y = \pm 1 的情况包含在 y=sin(x2+c)y = \sin(x^{2} + c) 内了,故 y=sin(x2+c)y = \sin(x^{2} + c) 是原方程的所有解。


如果一类方程有多个例题的,解题步骤会逐渐简略。对比 👆 上 👇 下两个例题就能发现,之后就不在说明了。

例题二:变量分离方程

解方程:dydx=y13\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y^{\frac{1}{3}}


解:y=0y = 0 是一个解

y0y \neq 0 时,分离变量

y13dy=dxy^{- \frac{1}{3}} \mathrm{d}y = \mathrm{d}x,两边积分

    32y23=x+c\implies \dfrac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = x + c

y=±[23(x+c)]32,xcy = \pm [\dfrac{2}{3} (x + c)]^{\frac{3}{2}}, \quad x \geq -c


注意:

  1. 这个方程的解的存在区间不同。
  2. 初值 y(x0)=0y(x_{0}) = 0 所确定的解不唯一。

齐次方程

定义:齐次函数

tZ\forall t \in \mathbb{Z},有

f(tx,ty)=tmf(x,y)f(tx, ty) = t^m f(x, y)

f(x,y)f(x,y) 称为 mm齐次函数


例如:

  1. f(x,y)=Ax2+By2+Cxyf(x, y) = Ax^{2} + By^{2} + C xy 为二次齐次函数。
  2. f(xy)f(\frac{x}{y}) 为零次齐次函数。

定义:齐次方程

形如

dydx=f(xy)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{x}{y})

的方程称为齐次方程

判断:齐次方程

可根据定义判断。


dydx=M(x,y)N(x,y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{M(x,y)}{N(x,y)}

M,NM, N 都是 mm 次齐次函数,则方程为齐次方程。


dydx=f(x,y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x, y)

f(x,y)f(x, y)00 次齐次函数,则方程为齐次方程。

求解:齐次方程

将齐次方程转化为可分离变量的方程

u=xyu = \dfrac{x}{y},则 y=xuy = xu

dydx=u+xdudx=f(u)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f(u)

    xdudx=f(u)u\implies x \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f(u) -u,这是一个变量可分离的方程,分离变量

    1f(u)udu=1xdx\implies \dfrac{1}{f(u) - u} \mathrm{d}u = \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x,两边积分即可

例题:齐次方程

解方程:dydx=x+yxy\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x + y}{x - y}


解:dydx=1+yx1yx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1 + \dfrac{y}{x}}{1 - \dfrac{y}{x}}

u=xy,y=xuu = \dfrac{x}{y}, y = xu

dydx=u+xdudx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

xdudx=1+u1uu=1+u21ux \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1 + u}{1 - u} - u = \dfrac{1 + u^2}{1 - u},分离变量

    1u1+u2du=1xdx\implies \dfrac{1 - u}{1 + u^2} \mathrm{d}u = \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x,两边积分

    arctanuln1+u2=lnx+c1\implies \arctan u - \ln \sqrt{ 1 + u^2 } = \ln\mid x \mid + c_{1},两边取指数

    earctanux2x2+y2=ec1x\implies e^{\arctan u} \sqrt{ \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} } = e^{c_{1}} \mid x \mid,将 u=xyu = \dfrac{x}{y} 带入

故原方程解为 cearctany/x=x2+y2c e^{\arctan y/x} = \sqrt{ x^{2} + y^{2} }

一阶齐次线性方程

定义:一阶齐次线性方程

形如

y+p(x)y=0y' + p(x) y = 0

的方程称为一阶齐次线性方程。

求解:一阶齐次线性方程

变量可分离,按照变量分离方程求解即可。

解得:

{y=0y=cep(x)dx\begin{cases} y = 0 \\ y = c e^{- \int p(x) \mathrm{d}x } \end{cases}

一阶非齐次线性方程

定义:一阶非齐次线性方程

形如

dydx+p(x)y=q(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y = q(x)

的方程称为一阶非齐次线性方程,其中 q(x)≢0q(x) \not\equiv 0

求解:一阶非齐次线性方程

两边同乘 exp(t)dte^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t },这里积分符号的下标没有写,只要保证其在定义域内即可

    exp(t)dtdydx+exp(t)dtp(x)y=exp(t)dtq(x)\implies e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } p(x) y = e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } q(x)

    (exp(t)dty)=exp(t)dtq(x)\implies \left( e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } y \right)' = e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } q(x),两边积分

    exp(t)dty=xexp(t)dtq(s)ds+c\implies e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } y = \int ^x e^{ \int ^x p(t) \mathrm{d}t } q(s) \mathrm{d}s + c

y=exp(t)dt(xexp(t)dtq(s)ds+c)y = e^{- \int ^x p(t) \mathrm{d}t } \left( \int^x e^{ \int^x p(t)\mathrm{d}t } q(s) \mathrm{d}s +c \right)

简写为 y=epdx(epdxqdx+c)y = e^{ -\int p \mathrm{d}x } \left( \int e^{ \int p \mathrm{d}x } q \mathrm{d}x + c \right)


考虑初值问题:

{y+p(x)y=q(x)y(x0)=y0\begin{cases} y' + p(x) y = q(x) \\ y(x_{0}) = y_{0} \end{cases}

y(x)=ex0xp(t)dt(x0xex0xp(t)dtq(s)ds+y0)y(x) = e^{ - \int_{x_{0}}^{x} p(t)\mathrm{d}t } \left( \int_{x_{0}}^{x} e^{ \int_{x_{0}}^{x} p(t)\mathrm{d}t } q(s)\mathrm{d}s + y_{0} \right)

例题一:一阶非齐次线性方程

解方程:dydxyx=x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \dfrac{y}{x} = x


解:p(x)=1x,q(x)=xp(x) = - \dfrac{1}{x}, \quad q(x) = x

e1xdx=elnx=1xe^{ \int - \frac{1}{x} \mathrm{d}x } = e^{ - \ln \left| x \right| } = \dfrac{1}{\left| x \right|},直接带入结果

    y(x)=x(1xdx+c)\implies y(x) = \left| x \right| \left( \int \dfrac{1}{\left| x \right|} \mathrm{d}x + c \right)

y(x)={x2+cx,x>0x2cx,x<0y(x) = \begin{cases} x^{2} + cx, \quad x > 0 \\ x^{2} - cx, \quad x < 0 \end{cases}

例题二:一阶非齐次线性方程

解方程:dydx=ycosxcosxlnlnlnx+1xlnxlnlnx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y \cos x -\cos x \ln \ln \ln x + \dfrac{1}{x \ln x \ln \ln x}


解:p(x)=cosx,q(x)=cosxlnlnlnx+1xlnxlnlnxp(x) = -\cos x, \quad q(x) = -\cos x \ln \ln \ln x + \dfrac{1}{x\ln x\ln \ln x}

ep(x)dx=esinxe^{ \int p(x) \mathrm{d}x } = e^{ - \sin x }

esinx(cosxlnlnlnx+1xlnxlnlnx)dx=esinxlnlnlnx\int e^{ - \sin x }\left( - \cos x \ln \ln \ln x + \dfrac{1}{x \ln x \ln \ln x} \right)\mathrm{d}x = e^{ - \sin x }\ln \ln \ln x

y(x)=esinx{esinxlnlnlnx+c}y(x) = e^{ \sin x }\left\{ e^{ - \sin x }\ln \ln \ln x + c \right\}

Bernoulli 方程

定义:Bernoulli 方程

形如

dydx+p(x)y=q(x)yn\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y = q(x) y^{n}

其中 n0,1;q≢0;p,qn \neq 0, 1; q \not\equiv 0; p, q 在某区间上连续的方程称为 Bernoulli 方程。

求解:Bernoulli 方程

(1)(1) y0y \equiv 0n>0n > 0是解;在 n<0n < 0 时不是解。

(2)(2) y0y \neq 0 方程两边同除 yny^n

yndydx+p(x)y1n=q(x)y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y^{1-n} = q(x)

dy1ndx+(n1)p(x)y1n=(n1)q(x)\dfrac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x} + (n-1) p(x) y^{1-n} = (n-1) q(x)

作变量代换 z=y1nz = y^{1-n}

原方程化为 dzdx+(1n)p(x)z=(1n)q(x)\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x)

这是一个一阶线性方程。按照 一阶齐次线性方程一阶非齐次线性方程 计算即可。

例题:Bernoulli 方程

解方程:dydx=x4+y3xy2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x^{4} + y^{3}}{x y^{2}}


解:dydx=x3y2+1xy\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x^{3}}{y^{2}} + \dfrac{1}{x} y

dydx1xy=x3y2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \dfrac{1}{x} y = x^{3}y^{-2}

这是 n=2n = -2 时的 Bernoulli 方程

作代换 z=y1n=y3z = y^{ 1-n } = y^{3}

dzdx=3y2dxdx\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = 3y^{2} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x},代入

dzdx3xz=3x3\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} - \dfrac{3}{x} z = 3 x^{3}

解得

{z=3x4+cx3(x>0)z=3x4cx3(x<0)\begin{cases} z = 3 x^{4} + c x^{3} \quad ( x > 0 ) \\ z = 3 x^{4} - c x^{3} \quad ( x < 0 ) \end{cases}

y(x)=(3x4+cx3)1/3,x0y(x) = \left( 3 x^{4} + c x^{3} \right)^{1/3}, x \neq 0

Riccati 方程

定义:Riccati 方程

形如

dydx=p(x)y2+q(x)y+r(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p(x) y^{2} + q(x) y + r(x)

的方程称为 Riccati 方程

Riccati 方程的特殊情况

{r(x)=0    Bernoulli 方程p(x)=0    一阶线性方程\begin{cases} r(x) = 0 \implies \text{Bernoulli 方程} \\ p(x) = 0 \implies \text{一阶线性方程} \end{cases}

定理:Liouville 定理

考虑特殊的 Riccati 方程:

y=y2+rxα(r0)y' = y^{2} + r x^{\alpha} \quad (r \neq 0)

当且仅当 α=4R12R\alpha = \dfrac{4R}{1 - 2R}R=0,±1,±2,,±R = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm \infty 时,该方程可以用初等积分法求解。其中,满足条件的整数 α\alpha 只有 0,2,40, -2, -4初等积分法具有局限性

一阶隐式方程

定义:一阶隐式方程

形如

F(x,y,y)=0F(x, y, y') = 0

的方程称为一阶隐式方程

求解:一阶隐式方程

考虑 F(x,y,y)=0F(x, y, y') = 0

p=yp = y'F(x,y,p)=0F(x, y, p) = 0 可看作一个三元函数

F(x,y,p)=0F(x, y, p) = 0 表示一个曲面

假设我们可以找到这个曲面的参数方程:

{x=x(s,t)y=y(s,t)p=p(s,t)\begin{cases} x = x(s, t) \\ y = y(s, t) \\ p = p(s, t) \end{cases}

dy=pdx\mathrm{d}y = p \mathrm{d}x

ysds+ytdt=p(s,t)(xsds+xtdt)\dfrac{\partial{y}}{\partial{s}} \mathrm{d}s + \dfrac{\partial{y}}{\partial{t}} \mathrm{d}t = p(s, t) \left( \dfrac{\partial{x}}{\partial{s}} \mathrm{d}s + \dfrac{\partial{x}}{\partial{t}} \mathrm{d}t \right)

(yspxs)ds=(pxtyt)dt\left( \dfrac{\partial{y}}{\partial{s}} - p \dfrac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)\mathrm{d}s = \left( p \dfrac{\partial{x}}{\partial{t}} - \dfrac{\partial{y}}{\partial{t}} \right) \mathrm{d}t

这是一个关于 s,ts, t 的一阶显式方程。

例题(Clairaut 方程):一阶隐式方程

ClairautClairaut 方程:y=xy+f(y)y = xy' + f(y')


解:

p=yp = y',则 y=xp+f(p)()y = xp + f(p) \quad (*)

两边关于 xx 求导,得 p=p+xp+f(p)pp = p + xp' + f'(p)p'

p(x+f(p))=0p' \left( x + f'(p) \right) = 0

    p=0\implies p' = 0x=f(p)x = -f'(p)

p=0p' = 0 时,p=cp = c 为常数。带入 ()(*)y=cx+f(c)y = cx + f(c) (通解)

f=0f'' = 0 时,由反函数定理,pp 可以写成 xx 的函数。设 p=u(x)p = u(x)

带入 ()(*),得 y=xu(x)+f(u(x))y = x u(x) + f( u(x) )(特解)

例题二:一阶隐式方程

解方程:x=y3+yx = y'^{3} + y'


解:设 y=p,x=p3+py' = p, x = p^3 + p

{x=t3+ty=sp=t\begin{cases} x = t^3 + t \\ y = s \\ p = t \end{cases}

dy=pdx,ds=t(3t2+1)dt\mathrm{d}y = p\mathrm{d}x, \mathrm{d}s = t(3t^{2} + 1)\mathrm{d}t

    dsdt=t(3t2+1)\implies \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = t(3t^2 + 1),积分

s=34t4+12t2+cs = \dfrac{3}{4} t^4 + \dfrac{1}{2} t^2 + c

{x=t3+ty=34t4+12t2+c\begin{cases} x = t^3 + t \\ y = \dfrac{3}{4} t^4 + \dfrac{1}{2} t^2 + c \end{cases}

例题三:一阶隐式方程

解方程:x3+y3xy=0x^{3} + y'^{3} - xy' = 0


解:设 y=py' = p,则原方程化为 x3+p3xp=0x^{3} + p^{3} -xp = 0

p=txp = tx,带入上式,得 x3+t3x3tx2=0x^{3} + t^{3} x^{3} - tx^{2} = 0

    x+t3xt=0\implies x + t^{3}x - t = 0

x=t1+t3,p=t21+t3x = \dfrac{t}{1 + t^3}, p = \dfrac{t^{2}}{1 + t^{3}}

ds=t21+t3(t1+t3)dt\mathrm{d}s = \dfrac{t^{2}}{1 + t^{3}} \left( \dfrac{t}{1 + t^{3}} \right)'\mathrm{d}t

积分得 s=1+4t36(1+t3)2+cs = \dfrac{1 + 4t^{3}}{6(1 + t^{3})^2} + c

{x=t1+t3y=1+t36(1+t3)2+c\begin{cases} x = \dfrac{t}{1 + t^{3}} \\ y = \dfrac{1 + t^{3}}{6( 1 + t^{3} )^2} + c \end{cases}

例题四:一阶隐式方程

解方程:y2(y1)=(2y)2y^{2} (y' - 1) = (2 - y')^{2}


解:设 y=py' = p,则 y2(p1)=(2p)2y^{2} (p - 1) = (2 - p)^{2}

2p=ty2 - p = ty,则 y2(1ty)=t2y2y^{2} (1 - ty) = t^{2}y^{2}

{x=sy=1t2tp=1+t2\begin{cases} x = s \\ y = \dfrac{1 - t^{2}}{t} \\ p = 1 + t^{2} \end{cases}

代入,(1t2t)dt=(1+t2)ds\left( \dfrac{1 - t^{2}}{t} \right)' \mathrm{d}t = ( 1 + t^{2} )\mathrm{d}s

化简得 s=1t+cs = \dfrac{1}{t} + c

{x=1t+cy=1t2t    消去 t 得 y=xc1xc\begin{cases} x = \dfrac{1}{t} + c \\ y = \dfrac{1 - t^{2}}{t} \implies \text{消去 t 得 } y = x- c- \dfrac{1}{x - c} \end{cases}

高阶方程

定义:高阶方程

形如

F(x,y,y,y)=0F(x, y , y' ,y'') = 0

的方程称为高阶方程

大概不会考阶数太高的:)

求解:高阶方程

(1)(1)FF 不显含 yy

F(x,y,y)=0F(x, y', y'') = 0

y=u(x)y' = u(x),原方程化为 F(x,u,u)=0F(x, u, u') = 0

(2)(2)FF 不显含 xx

F(y,y,y)=0F(y, y', y'') = 0

y=u(y)y' = u(y),则 y=dudydydx=dudyu(y)y'' = \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} \cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} u(y)

原方程化为 F(y,u,ududy)=0F(y, u, u \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}) = 0

例题:高阶方程

解方程:zyy=1zyy'' = 1

不显含 xx。令 y=u(y)y' = u(y)

y=udydyy'' = u \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}y} 代入原方程

zyududy=1zyu \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = 1,变量可分离

求得 y=c1eu2y = c_{1} e^{u^{2}},代回 uu

    y=c1ey2\implies y = c_{1}e^{ y'^{2} }

p=yp = y',则 y=c1ep2y = c_{1} e^{p^2}

{x=sy=c1et2p=t\begin{cases} x = s \\ y = c_{1} e^{t^2} \\ p = t \end{cases}

dy=pdx\mathrm{d}y = p \mathrm{d}x

2tc1et2=tds    c1et2dt=ds2t c_{1} e^{ t^2 } = t\mathrm{d}s \implies c_{1} e^{t^2}\mathrm{d}t = \mathrm{d}s

t=0    t = 0 \implies 无解